一、利润问题

题型识别：已知成本、定价、折扣、利润率之间的转化，常见于商品销售、打折促销。

核心公式

利润 = 售价 − 成本；利润率 = 利润 ÷ 成本（行测多按成本利润率）。

售价 = 成本 ×（1 + 利润率）；

定价后再打折：实际售价 = 定价 × 折扣率。

折扣率 = 实际售价 ÷ 定价；常见“八折”= 0.8。

例题精讲

例题：某商品成本200元，按30%的利润率定价，实际销售时又打八折，求实际利润。

解：定价 = 200 ×（1 + 30%）= 260元；实际售价 = 260 × 0.8 = 208元；利润 = 208 − 200 = 8元。

答案：实际利润为8元。

易错点：打折是对“定价”打折，不是直接在利润率上乘0.8。

二、行程问题：相遇与追及

题型识别：相遇看“路程和”，追及看“路程差”；环形跑道常考第n次相遇/追上。

核心公式

基本量：路程 s = 速度 v × 时间 t。

相向而行时，相遇时间 = 路程和 ÷ 速度和；路程和 = 速度和 × 时间。

同向而行时，追及时间 = 路程差 ÷ 速度差；路程差 = 速度差 × 时间。

环形相遇：每相遇一次合跑一圈；环形追及：每追上一次多跑一圈。

例题精讲

例题：A、B两地相距360km。甲、乙两车同时从A、B相向开出，6小时相遇，已知甲车速度40km/h。求乙车速度；若改为甲从A地追前方B地出发且同向而行的乙车，甲追上乙需几小时？

解：相向时甲乙速度和 = 360 ÷ 6 = 60km/h，乙速 = 60 − 40 = 20km/h。改为同向追及时，路程差360km，速度差 = 40 − 20 = 20km/h，追及时间 = 360 ÷ 20 = 18小时。

答案：乙车速度20km/h；甲追上乙需要18小时。

易错点：相遇用速度和，追及用速度差；环形问题要按“圈数”补路程。

三、牛吃草问题

题型识别：草在不断生长，牛在不断消耗；关键是求“每天新长草量”和“原有草量”。

核心公式

设每头牛每天吃1份草，原有草量y，每天新长草x，N头牛吃T天。

核心方程：y =（N − x）× T；两组条件联立可求x、y。

牛数变化时仍用：可吃天数 = y ÷（N − x），注意 N 必须大于 x 才能吃完。

例题精讲

例题：一片牧场草可供20头牛吃10天，或可供30头牛吃6天。求每天新长草量、原有草量；若放25头牛，可吃几天？

解：设每头牛每天吃1份。20头10天共吃200份，30头6天共吃180份，相差20份是因为多生长了4天，故每天新长草 x = 20 ÷ 4 = 5份。原有草 y =（20 − 5）× 10 = 150份。25头牛时，（25 − 5）× T = 150，T = 7.5天。

答案：每天新长5份，原有草150份；25头牛可吃7.5天。

易错点：牛吃的不只是原有草，还包括每天新长的草，所以要“N − x”。

四、工程问题

题型识别：已知各主体单独完成时间，常设工作总量为时间的最小公倍数，转化为效率。

核心公式

工作总量 = 效率 × 时间；效率 = 1 ÷ 单独完成时间。

合作效率 = 各效率相加；中途退出按已完成量分段计算。

给定多个完工时间：常设总量为各时间最小公倍数，避免分数。

例题精讲

例题：一项工程，甲单独做10天完成，乙单独做15天完成。两队合作4天后甲撤走，剩下由乙单独完成，还需几天？

解：设总量为30份，则甲效率3份/天，乙效率2份/天。合作4天完成（3 + 2）× 4 = 20份，还剩10份；乙单独完成需 10 ÷ 2 = 5天。

答案：还需5天。

易错点：合作、轮流、休息、进水放水都要先统一成“效率/份数”。

五、容斥问题

题型识别：多个集合有重叠，已知总数、各部分、都不会/都会人数，求交集或并集。

核心公式

两集合：|A∪B| = |A| + |B| − |A∩B|；都不 = 总数 − |A∪B|。

三集合：|A∪B∪C| = |A|+|B|+|C| − |A∩B| − |A∩C| − |B∩C| + |A∩B∩C|。

“至少满足一个”用并集；“同时满足多个”注意重复扣减要补回。

例题精讲

例题：某班50名学生，会英语的有36人，会数学的有30人，两种都不会的有4人。两种都会的有多少人？

解：至少会一种的人数 = 50 − 4 = 46人；由两集合容斥，两种都会 = 36 + 30 − 46 = 20人。

答案：两种都会的有20人。

易错点：三集合中“只满足两项”和“满足三项”不要重复相加。

六、年龄问题

题型识别：核心不变量是“年龄差”；几年后每人都长几岁，几年前每人都减几岁。

核心公式

年龄差恒定：今年差 = 几年后差 = 几年前差。

可用代入法：选项代回验证年龄差是否恒定。

例题精讲

例题：今年父亲38岁，儿子10岁。几年后父亲的年龄是儿子的3倍？

解：设x年后满足条件：38 + x = 3（10 + x）。化简得38 + x = 30 + 3x，解得x = 4。

答案：4年后。

易错点：倍数关系作用于“同一年的年龄”，不要拿今年年龄差直接除。

七、日期问题

题型识别：考星期推算、月份天数、平闰年；本质是经过天数对7取余。

核心公式

平年365天，闰年366天；平年2月28天，闰年2月29天。

闰年判断：能被4整除但不能被100整除，或能被400整除。

星期推算：所求星期 = 已知星期 + 经过天数÷ 7的余数。

例题精讲

例题：已知2026年3月1日是星期日，问2026年10月1日是星期几？

解：从3月1日到10月1日经过：3月剩余30天、4月30天、5月31天、6月30天、7月31天、8月31天、9月30天、10月1天，共214天。214 ÷ 7余4，星期日往后数4天为星期四。

答案：2026年10月1日是星期四。

易错点：跨月算“日期差”要数清每月天数；是否经过2月先判断平闰年。

八、浓度问题

题型识别：围绕溶质、溶剂、溶液三者变化；加水、蒸发、混合是最常见三类。

核心公式

• 浓度 = 溶质 ÷ 溶液 × 100%；溶液 = 溶质 + 溶剂。
• 加水稀释：溶质不变；蒸发水：溶质不变；倒出再补水：按剩余溶质计算。
• 混合问题：总溶质 ÷ 总溶液；也可用十字交叉法快速求质量比。

例题精讲

例题：现有20%的盐水300g，要稀释成12%的盐水，需要加水多少克？

解：原溶质 = 300 × 20% = 60g。稀释后溶液总质量 = 60 ÷ 12% = 500g，所以需要加水 = 500 − 300 = 200g。

答案：需要加水200g。

易错点：加水改变溶液质量但不改变溶质；加溶质则两者同时变。

九、等差数列

题型识别：座位、台阶、楼层、逐日增加等问题；相邻两项差固定。

核心公式

• 通项公式：aₙ = a₁ +（n − 1）d。
• 求和公式：Sₙ = （a₁ + aₙ）n÷ 2 = n·a₁ + n（n − 1）d ÷ 2。
• 项数公式：n =（aₙ − a₁）÷ d + 1；中项性质：Sₙ = 中位数 × 项数。

例题精讲

例题：某剧场共有20排座位，第一排12个座位，从第二排起每排比前一排多2个座位。这个剧场一共有多少个座位？

解：第20排座位数 a₂₀ = 12 +（20 − 1）× 2 = 50个。总数 S₂₀ = 20 ×（12 + 50）÷ 2 = 620个。

答案：一共有620个座位。

易错点：项数是“末项−首项”的差除以公差后再加1，不要漏加1。

十、几何问题

题型识别：考周长、面积、体积与拼接/阴影；先画图标出已知量，再找等量关系。

核心公式

长方形：C = 2（a + b），S = ab；正方形：C = 4a，S = a²。

圆：C = 2πr，S = πr²；三角形：S = ah ÷ 2。

正方体：V = a³，表面积 = 6a²；圆柱：V = πr²h，侧面积 = 2πrh。

组合图形：用“整体 − 空白”“分割求和”“平移拼接”求阴影面积。

例题精讲

例题：一个长方形花园长24m、宽16m。现在沿花园四周修一条宽1m的小路，求小路面积。

解：花园面积 = 24 × 16 = 384㎡。加上小路后外部长 = 24 + 2 = 26m，宽 = 16 + 2 = 18m，总面积 = 26 × 18 = 468㎡。小路面积 = 468 − 384 = 84㎡。

答案：小路面积为84平方米。

易错点：四周修路宽1m，长和宽都要各增加2m，不是各增加1m。

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